Primer Parcial - Semestre regular
Dadas las funciones \( f_{(x-3)}=|x| \) y \( g_{(x)} = cos(\pi x) \), la función \( h_{(x)} = (f \circ g)_{(x)} \), sera:
a)\( y = g_{(x+3)} \) b)Decreciente c)Discontinua d) \( y = g_{(x)} + 3 \) e) Inyectiva
Dadas las funciones \( f_{(x-3)}=|x| \) y \( g_{(x)} = cos(\pi x) \), la función \( h_{(x)} = (f \circ g)_{(x)} \), sera:
a)\( y = g_{(x+3)} \) b)Decreciente c)Discontinua d) \( y = g_{(x)} + 3 \) e) Inyectiva
1. Determine \( (f^{-1} \circ g^{-1})_{(x)} \), indicando su dominio, si: \[ f_{(x)} = \frac{1-16x^2}{x^2-16} ; 0 \leq x \leq 1 \hspace{0.4cm} y \hspace{0.4cm} g_{(x)} = \sqrt[4]{\frac{1+16x}{x+16}} ; -\frac{1}{16} \leq x \leq 1 \]
2. Calcule el límite al infinito: \[ L = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[5]{243x^{15} - 2x^{13} -3} + \sqrt[6]{64x^{18} - 4x^{15} + 9}}{\sqrt[7]{x^{21} - 2x^{20} - 5 + 4x^3 - 7}} \]
3. Calcule el siguiente límite \[ L = \lim_{x \to 0} = \frac{\ln \left[\frac{x \cos(2x) + 1}{x \pi^{x^2 + 1}}\right] }{x \sin^2 (3x)} \]
4. Halle los valores de a y b para que la función sea continua en su dominio
\[ f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\sqrt{1+2x} \sqrt[3]{1+x} -1}{x} \hspace{0.5cm}; \frac{1}{2} \leq x < 0 \\
ax+b \hspace{1.5cm};0 \leq x \leq 1\\
\frac{\sqrt[3]{x^2+7} - \sqrt{x+3}}{2x^2-3x+1} \hspace{0.8cm}; x > 1
\end{array}
\right.
\]
5.OPTATIVA: Grafique la siguiente función e indique su rango o imagen. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \! \left| \frac{1}{2} \right| \! \right] -1 \hspace{0.5cm}; -8 \leq x \leq -4 \\ \ln (x+4) \hspace{1.5cm} ;-4 < x \leq 0\\ ||x-3|-2| \hspace{0.8cm}; 0 < x \leq 6 \end{array} \right. \]
a) Calcular la función \( \text{arccosh}(x) \) (es decir \( f^{-1}(x) \))
b) Calcule \( (f^{-1} \circ h \circ g)(x) \), si: \[ h(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{1 - x^2}} & \text{y} \quad g(\ln x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \\ \end{cases} \]
a) Calcule \( \overline{OE} \) en función de \( h \)
b) Calcule: \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\overline{OE}}{h} \)
Explique por qué.
a) \( f(x) = \operatorname{sgn} \left( x^5 - 5x^3 + 4x \right) \)
b) \( f(x) = ||x^2 - 4| - 4| \)
1. a) En que valores la función \( f(x)=x-x \), es continua?
b) Para qué valores, esta igualdad es verdadera? \( |a|= -a \)
c) Sea \( f(x)=3x-2 \), dado \( \delta > 0 \). Demostrar que si \( |x-1|<\delta \) implica que \( |f(x)-f(1)|< 3 \delta \)
d) Verificar si cumple: \( f(x+y) + xy = f(x)f(y) \) para \( f(x)=1-x \)
2. Evaluar: \( L = \lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{4 \sin 2x \cos 5x +3}{3 \cos 3x} \)
3. Evaluar: \( L = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} +\frac{1}{27}+...+\frac{1}{3^x} ) \)
4. Dadas: \( f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
-x^2+2x-1 \hspace{0.5cm};x>2\\
\sqrt{2-x}-1 \hspace{0.8cm};-2 \leq x \leq 2\\
x sgn(x)-2 \hspace{0.8cm}; x<-2
\end{array}
\right.
\hspace{1cm}
g(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
|x+1|+1 \hspace{0.5cm};x<-1\\
x^3 \hspace{2cm};-1\leq x \leq 1\\
\frac{-2}{x^2+1} \hspace{1.6cm}; x>1
\end{array}
\right.
\)
Hallar: \( (f\circ g)_{(x)} \)
5. Evaluar: \( L = \lim_{x\to-1} \frac{\sqrt{x+\sqrt{3+\sqrt{3+2x}}}-1}{x^3+1} \)
6. OPTATIVA. Determinar la asintota oblicua de: \( f(x) = \sqrt[3]{1+x^3} +x \)
1. a) Sea \( f_{(x)} = x^3 - 1 \), determine los valores de \( b \), de tal manera que: \( \frac{f(3+b)-f(3)}{b}=9 \)
b) Determine el rango de la función: \( f(x)=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{x^2-4} \)
c) Si \( F(x)=tan^3(3x-2) \). Cuales son las funciones tal que: \( F(x)=(f \circ g \circ h)_{(x)} \)
d) Analizar si existe el siguiente límite: \( L=\lim_{x\to2} \frac{(x^2+x-6)sgn(x-2)}{|x-2|} \)
2. Determinar \( f(x) \), si se cumple: \( x^2-2f(x)=f(\frac{1}{x}); \hspace{0.5cm} \forall x \in R \neq 0 \)
3. Graficar: \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {\frac{x}{2} \hspace{1.6cm}}; x \leq 0 \\ \lceil x \rceil - x \hspace{0.5cm} ; x> 0 \end{array} \right. \)
4. Evaluar: \( L = \lim_{x\to1} \frac{arctan(x) - \frac{\pi}{4}}{x-1} \)
5. Evaluar: \( L = \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[x]{(1+ax)^b} \ln (x^2-1)}{1 - \cos x} \)
6. OPTATIVA. Determinar los valores de \( a,b \) para que la siguiente función sea continua:
\[\left\{
\begin{array}{ll}
|x+1| \hspace{1.6cm}; x < -1 \\
ax^3+b \hspace{1.4cm} ; -1 \leq x \leq 1 \\
\frac{x^{34}-1}{\sqrt{-1+\sqrt{2+\sqrt{3x+1}}}-1} \hspace{0.5cm} ; x > 1
\end{array}
\right.\]
1.(5%) El dominio de la función: \( f_{(x)} = \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x^3} \) es:
\( \hspace{1cm} a) 0 < x < 2 \hspace{1cm} b) -2 \leq x \leq 2 \hspace{1cm} c) [-2,0[U]0,2] \hspace{1cm} d) R-\left\{0\right\} \)
2. (5%) Verificar si existe el siguiente límite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3 + 4^{\frac{1}{x}}}\]
3.(5%) ¿Una función biyectiva puede ser impar? Justifique su respuesta con un ejemplo
4. (5%) Encierre en un círculo la afirmación que es erronea, de un ejemplo para justificar la respuesta.
\( \hspace{1cm} a) (g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f \hspace{1cm} b) f\circ (g+h)=f\circ g + f\circ h \hspace{1cm} c) \frac{1}{f\circ g} = f\circ \frac{1}{g} \hspace{1cm} d) \frac{1}{f\circ g} = \frac{1}{f} \circ g \)
5. (20%) Determine los valores de \(a, b\) para que la siguiente función sea continua: \begin{equation} f_{(x)} = \begin{cases} \frac{\ln (-x-1)}{\sqrt{5-2x} -3 } \hspace{1.6cm} ; \hspace{1cm} x < -2\\ ax+b \hspace{2cm} ; \hspace{1cm} -2 \leq x \leq 2\\ \frac{\cos (\frac{\pi}{2}x) + 1}{x^2-4} \hspace{1.5cm} ; \hspace{1cm} x > 2 \end{cases} \end{equation}
6.(20%) Evaluar el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^{62} - 1}{x^{60} - x^{58} + x^{56} - ... + x^{4} - x^{2}}\]
7.(20%) Graficar la función: \( f_{(x)} = \left\{ x \right\} - x^2 \)
8.(20%) Determinar: \( ( f \circ g )_{(x)} \), si: \( f_{(x)} = |2x + 1| \) y
\(
\begin{equation}
g_{(x)} =
\begin{cases}
\sqrt{-x}-1 \hspace{1.6cm} ; \hspace{1cm} -4 \leq x \leq -1\\
x sgn (x) -2 \hspace{1.1cm} ; \hspace{1cm} -1 < x < 0
\end{cases}
\end{equation}
\)
9.(20%) OPTATIVA. Determinar si existe asíntotas oblicuas: \( f_{(x)} = 5x- \sqrt[3]{2x^3+1} \)
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