I - 2025: 1 P - Parte Práctica - Ejercicio 4

\( y = \sqrt{ln^2(x) - ln(x^2) } \)       //()^2

\( y^2 = ln^2(x) - ln(x^2) \)

\( y^2 = (ln(x))^2 - 2ln(x) \)

Cambio de variable: \( t = ln(x) \)

\( y^2 = t^2 - 2t \)

Completamos cuadrados:

\( y^2 +1 = t^2 - 2t + 1 \)

\( y^2 +1 = (t-1)^2 \)

Despejamos t:

\( t = 1 \pm \sqrt{y^2 +1} \)

\( ln(x) = 1 \pm \sqrt{y^2 +1} \)

\( x = e^{1 \pm \sqrt{y^2 +1} } \)

\( y \in R \)

Pero en la expresión original \( (y = \sqrt{ln^2(x) - ln(x^2) } )\) se puede observar que \( y \) solo acepta valores positivos

Por lo tanto:

Rpta: \( R_f : y \in [0, + \infty [ \)